ПРИЕМЫ АКТИВИЗАЦИИ МЫШЛЕНИЯ

 

Когда человек сталкивается с какой-либо новой проблемой, он, как правило, испытывает замеша­тельство. И это понятно: слишком неопределенны исходные условия, слишком мало нужной информации, слишком много време­ни и усилий приходится затрачивать на поиск решения.

Что же делать, если проблема трудна, но найти ее решение необходимо? Давайте обсудим два возможных пути.

Вот один из них. Человек знакомится с условиями задачи, выбирает среди известных ему способов решения наиболее, на его взгляд, подходящий и с его помощью пытается найти правильный ответ. Несколько безуспешных попыток — и тут вдруг выясняется, что задача не решается. Тогда, если настойчивости мало, человек отказывается от решения задачи («не могу, мол, да и задача, судя по всему, неразрешима»). Ну, а если настойчивости много, то человек продолжает решать «до посинения», много раз подряд используя один и тот же (проверенный! надежный!) способ.

Можно ли добиться успеха на этом пути? Конечно, правильный ответ и в этом случае, вероятно, будет получен. Однако поиск может оказаться длительным, утомительным и скучным. Кроме того, надо иметь в виду, что новую и сложную задачу привычными способами зачастую решить невозможно. Поэтому на таком пути неудачи, к сожалению, будут слишком частыми. Не удивительно, что при столкновении с очередной новой задачей может появиться чувство неуверенности в своих силах и даже чувство страха.

Конечно, первые шаги в любом новом деле всегда связаны с ошибками. Как известно, не ошибается только тот, кто ничего не делает.

Однако ошибок будет гораздо меньше, если, пытаясь справиться с проблемой, пойти по другому пути. Если задача оказалась чересчур трудной и первые попытки решения не принесли результата, нужно просто сказать себе: «Стоп!» — и постараться посмотреть на задачу под другим углом зрения. Но вот что нужно сделать, чтобы обрести новый взгляд на проблему? По сути дела, в этом случае, решая задачу, человеку приходится действовать так, как действует Исследователь. Но для этого надо не только иметь хорошие математические знания, но и освоить определенные психологические правила. С некоторыми из них ты можешь познакомиться в этой книге.

 

ПРАВИЛО ПЕРВОЕ: СТАРАЙСЯ ПОМНИТЬ ОБ ИНЕРЦИИ СОБСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ

Что такое инерция мышления? Это склонность идти по про­торенной дорожке, использовать привычные способы деятельности. В результате мы оказываемся неспособными изменить сформи­ровавшиеся навыки или сложившуюся точку зрения даже тогда, когда этого требуют изменившиеся обстоятельства. Короче, инерция мышления — это готовность действовать по привычке, без созна­тельных усилий. В той или иной мере инерция присуща мышлению каждого человека, хотя многие этого за собой даже не замечают.

Попробуй решить 10 арифметических задач, имеющих одина­ковое условие и отличающихся друг от друга только числовыми данными, приведенными в таблице.

«Есть три бочонка, каждый из которых имеет опреде­ленную емкость. Как, переливая воду из одного бочонка в другой (бочонки, по нашему желанию, могут быть либо пустыми, либо полными), отмерить ровно столько воды, сколько требуется?».

 

 

Решим 1-ю задачу. Чтобы получить 10 л, можно заполнить самый большой бочонок, затем отлить из него часть воды в бочонок емкостью 21л, потом снова из этого большого бочонка отлить часть оставшейся воды в маленький бочонок емкостью З л, еще раз отлить в маленький бочонок — и получится ровно 10 л. Ответ запишем в виде 37-21-3-3. Задачи решай, не отвлекаясь, с первой до последней, причем обязательно в том порядке, в каком они указаны в таблице. Ответы записывай в тетради.

Теперь давай проанализируем те способы, которые ты исполь­зовал при решении каждой из задач. Задачи с №1 по №5 можно решить одним и тем же способом (например, задача №2: 37-24-2-2; задача №3: 39-22-2 и т. д.). Задачу №6 удобнее решить новым, более коротким способом (14-2-2), хотя можно применить и старый способ. Задача №7 легко решается очень простым способом (7+7), хотя опять же можно применить более громоздкий старый способ. Задача №8 вообще не требует никаких переливаний. Задачи №9 и №10 можно решить только новым способом, так как старый способ для них не годится.

Теперь ты сам можешь оценить в баллах склонность собственного мышления к психологической инерции:

№ 1                — 0 баллов (за подсказку);

№ 2, 3, 4, 5    — по 1 баллу за каждую задачу (если решение правильное);

№ 6                — 3 балла (если решение 14-2-2),

                            0 баллов (если старый способ);

№7                 — 3 балла (если решение 7+7);

                            0 баллов (если старый способ);

№ 8                — 2 балла (если ответ получен без вычислений);

                            0 баллов (если старый способ);

№ 9 и 10        — по 2 балла за каждую задачу (если найдено правильное решение).

Максимальный результат — 16 баллов.

Если ты набрал 13-16 баллов, то твое мышление отличается высокой степенью гибкости, ты легко меняешь стереотипный способ решения на новый, более удобный. Если набралось 4-8 баллов, то тебе следует обратить внимание на склонность собственного мышления «застревать» на привычном, твердо усвоенном.

А теперь попробуй решить еще одну задачу: «Нужно соединить 9 точек (см. рис. ниже) четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги».

Если ты решил эту задачу — очень хорошо! Даже многие взрослые не могут найти правильное решение.

Если сразу решение не возникло, то постарайся поискать его хотя бы минут пять.

Не получилось? Ничего страшного. Отвлекись-ка на минутку и попробуй решить следующую, более простую задачу-подсказку:

«Нужно соединить 4 точки тремя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги так, чтобы вернуться при этом в исходную точку».

Однако прежде чем приняться за решение задачи, нарисуй, пожа­луйста, треугольный журнальный столик, на поверхности которого лежит квадратная салфетка. Нарисовал? А теперь приступай к решению задачи с 4 точками. Получилось?

После этого вернись к задаче с девятью точками и снова попробуй ее решить. Так в чем же смысл задачи-подсказки? Если ты так и не догадался, в чем секрет, смотри правильное решение ниже.

Не правда ли, оно кажется совсем простым, когда его видишь?

Давай задумаемся вот над чем: почему основная задача сначала кажется неразрешимой? Дело здесь именно в психоло­гической инерции нашего мышления, которое само себе навязывает предположение о том, что заданные точки образуют «квадрат». Как только ты сможешь увидеть пространство за пределами этих точек и мысленно провести в этом пространстве линии, решение легко будет найдено.

Итак, Исследователя отличает гибкость мышления — способ­ность при необходимости отказываться от сложившихся стереотипов и изменять свою деятельность в зависимости от требований ситу­ации.

Для тренировки гибкости мышления полезно поиграть, напри­мер, в такую игру: «Представь себе, что спичечная коробка — это не спичечная коробка, а нечто совсем другое. Что это может быть?»

 

ПРАВИЛО ВТОРОЕ: НАУЧИСЬ ЗАДАВАТЬ ВОПРОСЫ

Как мы с тобой убедились, инерция нашего мышления выража­ется, в частности, в том, что, столкнувшись с новой ситуацией, мы сосредоточиваемся в ней, прежде всего на очевидном, явном, привычном. Для того, чтобы разрушить стереотипы в восприятии и понимании проблемы, следует научиться задавать вопросы (прежде всего самому себе!).

Например, каждый из нас знает, что такое электрическая лампочка. Каждому приходилось себе на завтрак делать бутерброды с колбасой. Казалось бы, какие тут могут быть вопросы? А что если спросить: «Почему электрической лампочке придают грушевидную форму?» Или задать вопрос: «Почему мы нарезаем колбасу наис­косок?». Причем на каждый из заданных вопросов можно дать несколько вариантов ответов.

Чтобы выбраться из плена собственных ошибок следует научиться задавать вопросы. И каждый вопрос, будто луч фонарика, «высвечивает» в проблеме те ее стороны, на которые раньше Вы

не обращал внимания.

Верно говорят, что правильно задать вопрос — значит напо­ловину решить задачу.

Давай рассмотрим следующую ситуацию. Однажды отшельник сказал своему ученику: «Ко мне сегодня утром пришли трое гостей. Произведение их возрастов 2450. Сумма их возрастов вдвое больше твоего возраста. Каков возраст каждого гостя?» Через некоторое время ученик пришел и сообщил отшельнику, что эту задачу он решить не может, потому что...

Попробуем разобраться, как рассуждал ученик и почему он не смог решить эту задачу. Рассуждать он мог примерно так: «Что в этой задаче мне точно известно? Во-первых, я знаю свой собствен­ный возраст. Во-вторых, я знаю, что возраст человека обычно обозначается целым числом. В-третьих, я знаю правило разложения числа на множители:

2450 = 25*5*7*7.

Каков же мог быть возраст гостей?

Возраст одного гостя — это либо один из делителей, либо произведение делителей числа 2450. Выпишу варианты возрастов троих гостей и найду суммы получившихся троек. И ученик записал:

 

 

«Так вот же решение! — обрадовался ученик. — И как же все просто: мне — 32 года, следовательно, возраст гостей — 10, 5 и 49 лет. Стоп! Можно ли утверждать, что сочетание трех возрастов, которое в сумме дает 64, получится только один раз? (Заметь, этот вопрос ученик задал самому себе). Надо проверить!» И он продолжил перебор:

 

 

У меня получилось два подходящих набора: 49—5—10 и 50—7—7. Какой из них будет ответом к задаче? Этого я сказать не могу — не хватает данных.

И ученик попросил отшельника дополнить условие задачи.

— Старший из моих гостей старше меня самого, — ответил отшельник.

Ученик было обрадовался, но тут же спохватился, что не знает возраста отшельника. Тогда он снова задал вопрос учителю:

— Достаточно ли этих сведений для выбора правильного ответа?

— Вполне, — ответил отшельник.

И вскоре ученик дал правильный ответ: возраст гостей 50, 7 и 7 лет! (Так сколько лет отшельнику и как ученик определил его возраст?)

Итак, ученик, конечно, действовал как Исследователь: с помощью вопросов он как бы управлял процессом решения («перетряхивал» содержание задачи, руководил своими собственными действиями, получал помощь в виде дополнительной информации от другого человека).

Заметим, что все вопросы, которые могут возникнуть в процессе решения любой задачи, можно разделить на следующие основные группы:

1. Вопросы, связанные с уяснением условий задачи.

Что именно в задаче заставляет меня считать ее сложной и почему? Что неизвестно? Достаточны ли заданные условия для ответа на вопрос задачи? Может быть, стоит изобразить условия задачи схематически? Есть ли в задаче некоторый «ключевой» элемент, с которого я мог бы начать свои рассуждения? и т.д. 2.  Вопросы, связанные со сбором дополнительных сведений.

Что вспоминается в связи с данной задачей из того, что я уже знаю и что может иметь к ней какое-либо отношение (факты, определения и т. д.)? Какие уточнения я хотел бы получить? Какие учебники, книги и справочники следует просмотреть для поиска нужных сведений? Следует ли провести какой-либо эксперимент (например, мысленный эксперимент по варьированию условий задачи)? С кем из знающих людей нужно посоветоваться и т. д.

3.  Вопросы, связанные с поиском способов решения.

Встречал ли я раньше какую-либо родственную (аналогичную) задачу (из того же раздела математики, смежной области знаний, своего личного практического опыта)? Какой из методов, которые я уже знаю, можно применить к решению данной задачи? Если он не приводит к положительному результату, то почему? Как можно рассортировать и классифицировать имеющиеся сведения (лучше это сделать в письменной форме)? Как можно содержание задачи переформулировать или преобразовать? Какие связи можно установить между различными аспектами задачи? Какие причины и следствия можно проследить при выполнении различных преоб­разований и т.д.

4.  Вопросы, связанные с проверкой полученного решения.

Нравится или не нравится мне найденное решение? Какие дополнительные аргументы «за» и «против» этого решения можно привести? Можно ли тот же результат получить каким-либо другим способом? Если я не уверен в правильности результата, как мне его проверить? Будет ли полезным данный способ решения для задач другого типа? Какие новые проблемы обнаруживаются в связи с полученным результатом и т.д.

Итак, что же отличает мышление Исследователя, который всегда рассматривает проблему через призму собственных вопро­сов?' Во-первых, процесс поиска решения превращается в увлека­тельный диалог с самим собой; во-вторых, расширяются и углубля­ются представления об изучаемом предмете или явлении; в-третьих, возникают благоприятные условия для появления необычных, оригинальных идей; в-четвертых, активно используется прошлый опыт.

 

ПРАВИЛО ТРЕТЬЕ: ФОРМУЛИРУЙ И ОБОСНОВЫВАЙ ГИПОТЕЗЫ

Задавая вопросы, мы создаем основу для выдвижения гипо­тезы. В самой простой своей форме гипотеза — это предположение о возможности какого-либо события. Например, мы можем высказать гипотезу о возможной погоде на завтра, о возможном поступке определенного человека в определенной ситуации и т.д.

С научной гипотезой дело посложнее, ибо научная гипотеза — это предположение (догадка) о причинах какого-либо явления, которое мы хотели бы понять, но не можем этого сделать из-за отсутствия на данный момент необходимых знаний.

Например, известно, что в стволе вертикальной шахты через каждые 30-40 метров по мере углубления температура изменяется примерно на один градус. Почему она так меняется? Попробуй высказать предположение (гипотезу) относительно приро­ды этого явления. Возможно, у тебя появилось несколько гипотез? Выбери гипотезу, которая представляется тебе верной. Попробуй на ее основе предсказать (то есть снова высказать гипотезу), как может измениться климат Земли через 10000 лет?

Таким образом, высказывая гипотезы, мы можем не только предсказывать возможность (либо невозможность) каких-либо событий и объяснять причины происходящего, но также задумы­ваться о новых, ранее неизвестных явлениях.

Но гипотеза является «предварительным», еще не доказанным знанием. В ходе обоснования и проверки гипотезу можно либо опроверг­нуть, либо подтвердить. (Хотя, конечно, бывают иногда такие гипотезы, которые ни опровергнуть, ни подтвердить невозможно).

Опровергнуть гипотезу можно, приведя контрпример. Опровергнутая гипотеза становится ложным утверждением.

Провести доказательство гипотезы можно, проанализировав некото­рое множество подтверждающих ее фактов, сославшись на существующие законы, правила, проведя необходимый эксперимент, построив систему логических доказательств и т.д. Гипотеза, получившая подтверждение, превращается в истинное утверждение.

Ниже приводятся примеры задач, решая которые тебе придется выдвигать гипотезы.

Иногда, формулируя и обосновывая гипотезу, достаточно всего лишь учитывать условия самой задачи. Рассмотрим, например, такую задачу: Вместо условных знаков подберите цифры так, чтобы можно было произвести все указанные в ребусе действия над числами.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выска­зывать гипотезы о том, какой знак какой цифре соответствует (попробуй начать с определения числового значения знака). Обрати внимание, что при поиске решения каждая очередная гипотеза должна сразу же сличаться (проверяться) согласно условиям задачи. Правильный ответ ниже.

Выдвигая гипотезу, часто необходимо опираться на специаль­ные знания (в области химии, биологии, истории и т. д.).

И, если собственных знаний недостаточно, придется почитать соответствующие разделы учебника либо обратиться за советом к знающему человеку.

Например, дай ответ на следующий вопрос: «Будут ли как-либо различаться по своей форме снежинки, упавшие с разной высоты? Если да, то почему форма снежинок будет разной?»

Не правда ли, выдвинуть и обосновать гипотезу в данном случае можно лишь на основе знаний о природе процесса кристал­лизации?

Порой гипотеза может быть «сумасшедшей», то есть, выдвигая гипотезу, следует дать волю своей фантазии.

Например, некто разрезал пополам колоду карт, сложил стопкой две половины, снова разрезал эту новую стопку пополам, снова сложил и т.д. и, проделав такую процедуру 52 раза (допус­тим, что такое возможно), сложил стопкой все полученные кусочки. Вопрос: какова высота получившейся стопки? Предполо­жим, что она будет больше расстояния от Земли до Солнца. Не правда ли, безумная гипотеза? Колода карт — и такое огромное расстояние! Выясни, ложным или истинным является это утверж­дение.

 

ПРАВИЛО ЧЕТВЕРТОЕ: ИСПОЛЬЗУЙ ЭВРИСТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ

Слово «эврика» в переводе с греческого означает восклица­ние «Я нашел!», приписываемое Архимеду. Он воскликнул: «Эврика!», когда сделал одно из своих научных открытий.

Эвристика — это прием мыслительной деятельности, который обеспечивает быстрое «наведение» на правильное решение и сокращение мыслительного поиска. Известен целый ряд таких эвристических приемов-подсказок.

Рассмотрим их более детально.

1.  Специализация — переход от задачи в общем виде к какому-либо ее частному случаю.

Это может быть прием рассмотрения «крайнего случая», в котором искомые закономерности могут проявиться наиболее заметно, явно.

Часто используется прием «другой путь использования», когда основная задача первоначально решается применительно к какой-либо другой ситуации.

Например, в одной из сказок Андерсена королю и королеве надо было узнать, настоящая ли принцесса пришла к ним в дом. Вместо детальной проверки «по всем статьям» королева пере­ходит к «крайнему» случаю и успешно разрешает столь важный вопрос. Как она действовала? (Рекомендация: вспомните, какое свойство королева считала абсолютно обязательным для настоящей принцессы и как она доказала, что оказавшаяся у них в гостях девушка действительно является принцессой?).

2.  Аналогия — установление сходства между предметами по каким-либо свойствам, хотя в целом эти предметы или явления могут быть совершенно разными. Благодаря переносу знаний с того, что уже знакомо, на то, что пока еще непонятно, возрастают шансы на нахождение способа решения новой задачи либо на появление нужной идеи.   Суть этой эвристики такова: если два предмета сходны в каком-либо одном соотношении, они, возможно, будут сходны и в других своих свойствах.

Например, ответь на вопрос: «В желудках птиц часто находят камешки: проглочены они птицами случайно или нет?» (Рекомен­дация: поищи аналогию на собственной кухне).

3.    Упрощение — если задача сложна, попробуем упростить ее.    Например, из задачи можно что-то выбросить, принять во внимание действие только одного фактора, поискать более простую форму подачи условий и т.п.

Например, реши следующую задачу: «Пусть из двух городов А и В, расстояние между которыми 70 км, одновременно выезжают навстречу друг другу два велосипедиста. Велосипедист А едет со скоростью 15 км/ч, велосипедист В — со скоростью 20 км/ч. В тот момент, когда велосипедист А трогается с места, с его велосипеда слетает муха и летит навстречу В; встретившись с В, она летит обратно к А — и так до тех пор, пока велосипедисты не встретятся. Какое расстояние успеет покрыть муха, если ее собственная скорость — 25 км/ч?» (Рекомендация: какой элемент задачи вызывает впечатление ее чрезмерной сложности? Видимо, перелеты мухи взад-вперед. Попробуй отбросить это условие).

4.  Гиперболизация — чрезмерное преувеличение тех или иных параметров задачи.   Весьма часто в случае затруднения использу­ется прием «доведения до абсурда» (одного из условий, собственной ошибки и т.д.).

Например, вспомните, как в сказке Ш. Перро «Кот в сапогах» кот справился с людоедом.

5.   Замена — замещение определенных параметров задачи за счет других обозначений, других условий и т. д., в том числе прием «переформулировка условий».

Например, попробуй найти оптимальное решение в такой ситуации: «Вы хотите построить здание для Вашей фирмы, в котором могло бы полностью разместиться оборудование, архивы, служащие и т.д. Поскольку в данном районе города по сейсмологическим требованиям разрешается строить только одноэтажные здания, то для Ваших целей Вам необходимо 5 тыс. кв. м. земельной площади. Однако в выделенном Вам участке только 1 тыс. кв. м пригодна под застройку. Вы с сожалением откажетесь от своего проекта или будете искать выход?» (Рекомендация: выдели ключевое противоречие ситуации и попробуй заменить одно из условий строительства здания).

6.  Комбинирование — рассмотрение отдельных аспектов задачи в ином соотношении. Можно, например, изменять расположе­ние элементов задачи на схематическом рисунке, последователь­ность шагов решения, менять местами причину и следствие и т.д.

Примером использования такой эвристики может служить путь решения классической задачи о перевозке волка, козы и капусты. Человеку надо всех их переправить в лодке через реку, учитывая, что, во-первых, только двое могут одновременно поместиться в лодке и, во-вторых, только в присутствии человека никто никого не может съесть. Как благополучно (без потерь!) человек должен перевезти всё свое хозяйство? (Рекомендация: постарайся подобрать цепочку таких сочетаний основных участников этой истории: человека, капусты, козы, волка, чтобы в итоге с уверен­ностью можно было гарантировать благополучный исход перевозки).

7. Противопоставление — использование прямо противоположных

аргументов, которые ставят задачу «с ног на голову»: прием «доказательств от противного», использование противоположных по смыслу формулировок и т.д.

Например, используя прием «доказательств от противного», реши задачу: «б одной из школ 412 учащихся. Докажите, что по крайней мере у двух учащихся этой школы совпадают дни рож­дения».

 

 

 

ОТВЕТЫ

Ответ к задаче с девятью точками.